Guia de Estudio

Buenas tardes en el siguiente Link les coloco la guia para su examen del dia Miercoles, sus trabajos los reviso el miercoles sin falta solo el portafolio

Portafolio de Evidencias

Buenas tardes en el siguiente LINK pueden descargar el Portafolio de Evidencias, deben contestar los ejercicios y llevarlo impreso para el dia Lunes 26 de Septiembre.

El cero y el infinito

El cero, es aquel número que representa una cantidad nula. Un concepto bastante paradójico, pero fundamental para el desarrollo de las matemáticas a través de la historia.

El origen del cero como número se dio en la India. Si buscamos a quien inventó el cero la verdad es que no fue una sola persona la que desarrolló este importante concepto, pero debemos considerar a Brahmagupta, un matemático y astrónomo Indio como quien lo utilizo por primera vez tal como lo conocemos hoy en día. Esto ya que la primera mención clara de este número como concepto matemático se dio en su trabajo "Brahmasphuta Siddhanta" en el año 628. En esta obra increíblemente avanzada para la época, el matemático además considera a los números negativos, y las reglas algebraicas para operar con ellos. Entre las diferencias en el uso moderno de estos números, Brahmagupta le asignó cero al resultado de cero dividido por este mismo número.

El infinito es un concepto que todos utilizamos y nunca nos paramos a pensar sobre él. Existen numerosas acepciones, algunas no solo contrarias, sino contradictorias entre si, y es preciso, por lo menos señalar su existencia y su significado. Desde Euclides, que no quería y evitaba utilizar la palabra infinito y la sustituía por “lo que no tiene fin” y frases parecidas, hasta Cantor, con la “creación” de la aritmética de los números transfinitos. Son numerosas las ideas relacionadas con el infinito, actualidad y potencialidad, existencia del continuo, distintos tamaños de infinito, lo muy grande y lo muy pequeño, Dios, el todo...

Por supuesto, desde el momento en que la gente comenzó a pensar acerca del mundo en que vivían, surgieron las preguntas sobre el infinito. Había preguntas sobre el tiempo. ¿Apareció el mundo en un instante concreto o siempre había existido? ¿Existiría para siempre o tendría un final determinado? Entonces comenzaron las preguntas sobre el espacio. ¿Qué sucede si se permanece viajando en una dirección concreta? ¿Se alcanzaría el final del mundo o se podría viajar para siempre? De nuevo, sobre la Tierra se pueden ver las estrellas, planetas, el Sol y la Luna, pero ¿era este espacio finito o se extendería para siempre?

Los imaginarios y complejos en contexto

Los números complejos expresan la suma entre un numero real y un número imaginario. Un número real es aquel que puede ser expresado por un numero entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es unnumero cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a √-1 el nombre de i (de “imaginario”).

 

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de expresar las raíces de orden par de los números negativos. Los números complejos pueden expresar todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

De esta forma, los números complejos se usan en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Gracias a su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, son utilizados con frecuencia por la electrónica y las telecomunicaciones.

El cuerpo de los números reales está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).

Los números complejos forman el cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales (R) aparece como un subcuerpo de C. Por otra parte, C forma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no pueden ser ordenados, a diferencia de los números reales.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Los irracionales en contexto

La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. En el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

¿Que es un Número Irracional?

Un número irracional es aquél que no es un número entero y no puede expresarse como división exacta de dos números enteros. Por ejemplo los números 3, 1890 ó 2'5 = 5 / 2 no son números irracionales. Un número irracional es un número con infinitos decimales que en ningún caso se repiten de forma periódica. El número 1'33333... con infinitos decimales iguales a 3 tampoco es un número irracional ya que realmente es el resultado de dividir 4 entre 3 y los decimales se repiten periódicamente.

Entre los número irracionales tenemos como ejemplo algunas raíces cuadradas muy simples como Raíz cuadrada de 2 = 1,41421356237... que tiene infinitos decimales de manera que no existe ninguna secuencia de ellos que se repitan. También es irracional Raíz cuadrada de 5 = 2,236067977...

Aunque la raíz cuadrada de 2 sea difícil de escribir ya que tiene infinitos decimales, es en cambio muy fácil de representar geométricamente a partir de un cuadrado de lado uno. La diagonal de dicho cuadrado tiene como longitud la raíz cuadrada de 2. Este resultado es consecuencia del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo con dos catetos iguales de lado uno.

Los racionales en contexto

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

 

En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy. A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc.,  pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

 

A principios del siglo XVII, los números decimales aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.

¿Que son los Numeros Racionales?

Los Numeros Racionales, son el cociente de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b y se representan por la letra Q. Ha de ser b ≠ 0. 

a/b

Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina la parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”. Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:

14/2=7;              -15/3=-5;             352/11= 32

Equivalencia

Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa

a/b = a'/b'

si a · b′ = b · a′.

Así,

21/28= 9/12

porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252. 

Simplificacion

Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:

a/b=a.d'/b.d'=a'/b'

Por ejemplo:

120/90= 12/9

La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10

Fraccion Irreducible

Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí. La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:

12/9= 4/3

Reduccion a comun denominador

Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador. Por ejemplo, para reducira común denominador las fracciones

2/3, 4/9 y 3/5

se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
 

2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90

Suma de Fracciones

Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:

2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45

Producto de Fracciones 

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:

a/b * c/d = a*c/b*d

Inversa de una Fraccion 

La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1: 

a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1

Cociente de Fraccion 

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:

a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p

Los enteros en contexto

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los números enteros  abarcan a los números naturales, incluyendo al cero y a los números negativos  (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Los números enteros negativos tienen diversas aplicaciones prácticas. Con ellos se puede señalar una temperatura bajo cero (“En estos momentos, la temperatura en Bariloche es de -10º”) o una profundidad bajo el nivel del mar (“El barco hundido fue hallado a -135 metros”).

Es importante tener en cuenta que los números enteros son el resultado de las operaciones más básicas (suma y resta), por lo que su utilización se remonta a la antigüedad. Los matemáticos hindúes del siglo VI ya postulaban la existencia de números negativos. La noción de números enteros fue establecida ya que se trata de números que permiten representar unidades no divisibles, como una persona o un pais (no puede decirse “En mi casa viven 4,2 personas” o “El próximo campeonato mundial tendrá la participación de 24,69 países”). 

¿Que son los Numeros Enteros?

Un Número Entero, es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de Numeros Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:

7 + 11 = 18
-7 - 11 = -18   

• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

7 + (-5) = 7 - 5 = 2
-7 + 5 = - (7 - 5) = -2
14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa:

a + b = b + a

Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,

a + 0 = a

Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,

a + (-a) = 0

Multiplicacion de Numeros Enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y a continuación se aplica la regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

Conmutativa:

a · b = b · a

Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,

a · 1 = a

Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:

a · (b + c) = a · b + a · c

Resta de Numeros Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a - b = a + (-b)

Por ejemplo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7